Oleh: zendrohareflen | Agustus 10, 2013

KESEBANGUNAN DAN KONGRUENSI

BAB I

PENDAHULUAN

 

1.1  Latar Belakang

Dalam, kehidupan sehari-hari, kita dapat menemukan bentuk-bentuk bangun datar dalam sebuah bangunan rumah. Misalnya jendela dan pintu berbentuk persegi panjang, lubang ventilasi berbentuk segitiga, dan ubin lantai berbentuk persegi. Bangun datar dengan bentuk dan ukuran yang sama ini disebut sebangun jika memenuhi persyaratan. Untuk lebih mengetahuinya, kita akan mempelajari kesebangunan dan kongruensi melalui pembahasan berikut ini. Kesebangunan dan kongruensi berbeda satu sama lainnya. Jika kesebangunan harus memenuhi syarat sudut-sudutnya yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding, maka kongruensi harus memenuhi syarat bahwa dua bangun yang kongruen diimpitkan maka akan tepat saling menutupi, atau bagian-bagian yang bersesuaian akan saling menempati dengan tepat. Kita dapat melihat benda dengan bentuk sama tetapi ukuran yang berbeda. Perbedaan ukuran terjadi melalui pembesaran atau pengecilan objek dengan menggunakan perbandingan skala tertentu. Melalui pembelajaran kesebangunan dan kongruen ini akan dapat membantu memecahkan masalah sehari-hari.

 

1.2  Rumusan Masalah

  1. Apa yang dimaksud dengan kesebangunan?
  2. Apa saja syarat-syarat bangun yang sebangun?
  3. Apa saja syarat-syarat segitiga yang sebangun?
  4. Apa yang dimaksud dengan segitiga-segitiga yang kongruen?
  5. Apa saja prinsip dasar segitiga kongruen?

 

2.3 Tujuan

Untuk  dapat mengidentifikasi bangun-bangun datar yang sebangun dan kongruen, untuk mengetetahui dan memahami sifat-sifat dua segitiga sebangun dan kongruen,  serta dapat menggunakan konsep kesebangunan dalam memecahkan masalah sehari-hari.

.

 

 

BAB II

PEMBAHASAN

 

KESEBANGUNAN DAN KONGRUENSI

2.1    KESEBANGUNAN

2. 1.1 Gambar Berskala, Foto dan Model Berskala

Untuk mengetahui letak suatu kota, gunung, sungai, dan lain sebagainya pada suatu wilayah atau pulau tertentu, kita  dapat  melihat  secara  keseluruhan sekaligus  dengan suatu gambar yang mewakili keadaan sebenarnya. Agar  gambar dengan keadaan sebenarnya sesuai dan sebangun, maka gambar itu dibuat dengan perbandingan tertentu yang disebut skala. Gambar-gambar yang dibuat dengan menggunakan skala tertentu sehingga mewakili keadaan sebenarnya diantaranya adalah peta dan denah.

Contoh Soal:

  1. Dua kota berjarak 75 km, jika peta tersebut mempunyai skala 1 : 150.000, tentukanlah jarak kedua kota tersebut pada peta.

Jawab :

Skala 1 : 150.000

Jarak dua kota = 75 km = 7.500.000 cm

Jarak kedua kota pada peta =  x 7.500.000 cm  = 50 cm

Atau

Skala =

=

150.000 x jarak pada peta = 1 x 7.500.000

Jarak pada peta =  = 50 cm

 

2.1.2    Foto dan  Model Berskala

Sebuah foto atau model mempunyai bentuk yang sama dengan bentuk aslinya atau bentuk sebenarnya. Semua ukuran sebenarnya diperkecil atau diperbesar dengan perbandingan yang sama. Jadi, bagian-bagian yang bersesuaian dari foto dengan bangun asli memiliki perbandingan yang sama.

 

 

 

 

 

 

 

 

(i)                                                                          (ii)

(Gambar 3.1)

Dapat dibuat perbandingan berikut:

 

 

Contoh Soal:

Suatu foto berukuran 3cm x 2cm. Foto tersebut diperbesar sehingga sisi yang panjang berukuran 27cm. hitunglah luas foto tersebut setelah diperbesar?

Jawab:

Sisi yang panjang pada foto mula-mula= 3 cm

Sisi yang pendek pada foto mula-mula: 2 cm

Sisi yang panjang pada foto stelah diperbesar = 27 cm

Sisi yang pendek pada foto setelah diperbesar = x cm

 

↔ 3x= 27 x 2

↔ 3x= 54

↔ x =

↔ x = 18

Sisi yang pendek pada foto setelah diperbesar = 18 cm.

Jadi luas foto setelah diperbesar= 27 x 18 = 486 cm2

 

 

 

 

 

 

2.2       BANGUN-BANGUN YANG SEBANGUN

2.2.1 Syarat Dua Bangun yang Sebangun

 

 

 

 

 

 

Gambar 3.2

Gambar (i) dan (ii) menunjukkan bangun-bangun persegi panjang yang sebangun, sedangkan ukurannya berlainan.

Ukuran- ukuran gambar tersebut adalah sebagai berikut:

Panjang EF = 3 x panjang AB atau EF : AB = 3 : 1

Panjang EH = 3 x panjang AD, atau EH : AD  = 3 : 1

Jadi,perbandingan bagian-bagian yang bersesuaian juga sama, yaitu

EF : AB = EH : AD=3 : 1

Ukuran sudut-sudut yang bersesuaian juga sama,yaitu:

∟A = ∟ E =  90○                          ∟ D = ∟H = 90

∟B  = ∟ F = 90                     ∟ C = ∟ G = 90

Jadi, persegi panjang ABCD dan EFGH sebangun,dan ternyata memiliki :

  1. .Pasangan sisi yang bersesuaian yang sebanding,
  2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

(Gambar 3.3)

Panjang KL = 2 x panjang PQ, maka KL : PQ = 2 : 1

Panjang KN = 2 x panjang PS, maka KN : PS = 2 : 1

Panjang LM = 2 x panjang QR, maka LM : QR = 2 : 1

Panjang NM = 2 x panjang SR, maka NM : SR = 2 : 1

Jadi, trapesium PQRS dan KLMN sebangun, dan memiliki:

  1. Pasangan sisi-sisi bersesuaian yang sebanding
  2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Dua bangun yang bersisi lurus merupakan bangun yang sebangun jika memenuhi kedua syarat berikut:

  1. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
  2. Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.

 

 

 

 

 

 

Untuk memahami yang dimaksud dengan  sepasang sudut yang bersesuaian dan sepasang sisi yang bersesuaian pada dua buah bangun atau lebih, perhatikan contoh berikut ini.

 

 

(Gambar 3.4)

Sepasang sudut yang bersesuaian dan sepasang sisi yang bersesuaian harus mempunyai urutan yang sama. Dari gambar 3.4 (i) dan (ii), perhatikanlah urutan sudut yang sama. Sehingga bangun (i) dan (ii) memiliki sudut-sudut bersesuaian yang sama.

Pehatikan urutan sudut-sudut yang bersesuaian yang dihubungkan dengan garis putus-putus pada gambar berikut ini

 

 

 

 

(Gambar 3.5)

Gambar 3.4(iii) memiliki pasangan-pasangan sudut yang sama dengan bangun pada Gambar 3.5(i), tetapi sudut-sudut yang sama urutannya tidak bersesuaian. Perhatikan pasangan ke-3 dan ke-4, Gambar 3.6 dengan Gambar 3.4(i) dan Gambar 3.4(ii), sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama besar.

 

 

 

(Gambar 3.6)

Contoh :

  1. Dua buah persegi panjang masing-masing berukuran 16 cm x 10 cm dan 8 cm x 5 cm. Apakah kedua persegi itu sebangun ??

Jawab :

ukuran Persegi panjang I Persegi panjang II
Panjang

Lebar

16 cm

10 cm

8 cm

5 cm

 

Kedua persegi panjang sama sudut, karena setiap sudutnya siki-siku. Perbandingan panjang =16 cm : 8 cm=2:1

Perbandingan lebar =10 cm : 5 cm =2:1

Karena sama sudut dan perbandingan sisi  yang bersesuaian sama ,yaitu 2 : 1, maka kedua persegi panjang itu sebangun.

 

2.3       SEGITIGA-SEGITIGA YANG SEBANGUN

2.3.1 Syarat Dua Segitiga Sebangun

 

 

 

 

Gambar 3.7

Segitiga-segitiga di atas  pada Gambar 3.7 dibentuk oleh kelompok garis-garis yang sejajar.

Perhatikan  ∆ABC dan ∆DEF

∟A=∟D (sehadap)

∟B =∟E (sehadap)

∟C=∟F

Jadi, ∆ABC dan ∆DEF sama sudut.

AB : DE = 3 : 4

AC : DF = 3 : 4

BC : EF = 3 : 4

Jadi,sisi-sisi yang bersesuaian pada ∆ABC dan ∆DEF  sebanding.

Berikutnya perhatikan ∆ABC dan ∆PQR

∟A=∟P(sehadap)

∟B=∟Q(sehadap)

∟C=∟R

Jadi, ∆ABC dan ∆PQR sama sudut

AB : PQ = 3 : 6 = 1 : 2

AC : PR = 3 : 6 = 1 : 2

BC : QR = 3 : 6 = 1 : 2

Jadi,sisi-sisi yang bersesuaian pada ∆ABC dan ∆PQR  sebanding.

Dari hasil diatas dapat disimpulkan bahwa:

Jika sudut-sudut yang bersesuaian pada dua segitiga sama besar, maka sisi yang bersesuaian adalah sebanding. Jadi, dua segitiga itu sebangun.

Sisi-sisi yang bersesuaian dapat juga ditentukan dengan cara berikut ini:

 

∟ B A C=∟ Q P R     ∟ B A C=∟Q P R      ∟ A B C=∟ P Q R

∟ A B C=∟ P Q R     ∟ A C B=∟ P R Q     ∟ A C B=∟ P R Q

 

 

A B            P Q            A C                       P R             B C           Q R

 

 

2.3.2 Menghitung Panjang Sisi pada Segitiga Sebangun

Apabila dua buah segitiga memiliki pasangan-pasangan sudut yang sama, maka kedua segitiga itu sebangun, sehingga memiliki pasangan sisi bersesuaian yang perbandingannya sama. Dengan demikian, bila kedua sisi yang diketahui memiliki pasangan sudut yang sama, maka kita dapat menentukan panjang sisi suatu segitiga dengan menggunakan perbandingan.

 

Rumus dalam Segitiga siku-siku dengan Garis Tinggi ke Sisi Miring

 

 

 

 

 

 

Gambar 3.8

 

Segitiga ABC pada gambar 3.8(i)siku-siku di A dan AD adalah garis tinggi ke sisi miring BC. Dengan memperhatikan sudut-sudutnya, maka terdapat tiga segitiga sebangun yaitu ∆ABD, ∆CAD dan ∆CBA.

Berdasarkan pasangan segitiga yang sebangun ,maka dapat kita tentukan rumus-rumus berikut ini:

  1. ∆ABD dan∆CAD sebangun,maka:

 

AD  x  AD = BD x  CD

AD2 = BD x  CD

  1. ∆ABD dan ∆CBA sebangun, maka:

 

AB  x AB = BD x BC

AB2 = BD x BC

  1. ∆ACD dan ∆ABC sebangun, maka:

 

AC x AC = CD x BC

AC2 = CD x BC

 

 

2.3.3    Garis-garis Sejajar dengan Sisi Segitiga

Dalam ∆ABC, DE // AB

Perhatikan  ∆CDE dan ∆CAB.

∟CDE=∟CAB (sehadap)

∟CED=∟CBA  (sehadap)

∟DCE=∟ACB (persekutuan)

Jadi, ∆CDE dan ∆CAB sebangun, karena sudut yang bersesuaian sama besar, sehingga:

 

Gambar 3.9

Atau:

 

 

2.3.4         Menyelesaikan Soal Cerita yang Berkaitan dengan Kesebangunan

Untuk menyelesaikan soal cerita, dapat dibantu dengan membuat sketsa atau gambar. Dari gambar itu, kita dapat menyelesaikan dengan berdasarkan pada kesebangunan.

Pada gambar disamping, tongkat dan pohon berturut-turut mempunyai panjang bayangan 5 meter dan 20 meter. Jika tinggi tongkat adalah 4 meter, hitunglah tinggi pohon (t)!

Jawab :

 

5 x t = 4 x 20

5t = 80

 

 

 

2.4       SEGITIGA-SEGITIGA YANG KONGRUEN

            Bentuk-bentuk kongruen adalah bentuk-bentuk yang memiliki ukurandan bentuk yang sama: bentuk-bentuk tersebut merupakan duplikat yang persis satu sama lain. Bentuk-bentuk tersebut dapat dibuat bertumpang tindih sehingga bagian-bagiannya yang bersesuaian saling berimpitan.

2.4.1 Syarat-syarat Dua Segitiga Kongruen

Dua buah bangun yang sama bentuk maupun ukurannya dikatakan dua bangun yang kongruen. Jadi, jika dua buah bangun yang kongruen diimpitkan maka akan tepat saling menutupi, atau bagian-bagian yang bersesuaian akan saling menempati dengan tepat.

Perhatikan gambar berikut:

Gambar 4.0

Jika ∆ABC diimpitkan pada ∆DEF, maka:

∟A         ∟D,  sebab ∟A = ∟D                   AB         DE, sebab AB  = DE

∟B          ∟E, sebab ∟B = ∟E                       AC        DF, sebab AC = DF

∟C         ∟F, sebab ∟C = ∟F                                  BC         EF, sebab BC = EF

 

Jadi, ∆ABC  dan  ∆DEF, atau ∆ABC dan ∆DEF kongruen.

  1. Ketiga Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang (sisi, sisi, sisi)

Jika dua buah  segittiga memiliki sisi-sisi yang bersesuaian sama,maka kedua segitiga itu kongruen.

 

 

           

 

  1. Ketiga Sudut yang Bersesuaian Sama

Jika dua buah  segittiga memiliki sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka kedua segitiga itu belum tentu kongruen.

Besar

 

 

  1. Dua Sisi Sama Panjang dan Satu Sudut Sama Besar

Jika dua buah  segitiga memiliki dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang bersesuaian sama besar, maka kedua segitiga itu kongruen.

 

 

 

 

Contoh:

 

 

 

 

 

 

Perhatikan gambar diatas!

  1. Buktikan bahwa ∆ABC dan ∆LKM kongruen!
  2. Sebutkan pasangan-pasangan sudut yang sama besar!

Jawab:

  1. Perhatikan ∆ABC dan ∆LKM

AB = LK               (diketahui)

AC = LM              (diketahui)

BC = KM              (diketahui)

Ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang sehingga keduaa segitiga itu kongruen. Jadi, ∆ABC dan ∆LKM kongruen (sisi,sisi,sisi).

  1. Pasangan-pasangan sudut yang sama adalah:

∟A =  ∟L

∟B =  ∟K

∟C = ∟M

 

2.5       PRINSIP DASAR SEGITIGA KONGRUEN

  • Prinsip 1:

Jika dua segitiga kongruen,maka bagian-bagiannya yang bersesuaian juga kongruen.(Bagian-bagian yang bersesuaian pada segitiga-segitiga kongruen adalah nkog). ruen

 

 

 

Gambar 4.1

  • Ø Prinsip 2:

(ss.sd.ss kongruen ss.sd.ss)jika dua sisi dan sudut yang bentuknya pada suatu segitiga kongruen dengan bagian-bagian yang bersesuaian pada segitiga yang lain,maka segitiga –segitiga tersebut kongruen.(ket:sd.=sudut,ss.=sisi)

Gambar 4.2

  • Prinsip 3:

(sd.ss.sd kongruen sd.ss.sd)jika dua sudut dan sisi di antaranya pada suatu segitiga kongruen dengan bagian –bagian yang bersesuaian pada segitiga yang lain,maka segitiga yang lain,maka segitiga –segitiga tersebut kongruen.

Gambar 4. 3

  • Prinsip 4 :

(ss.ss.ss kongruen ss.ss.ss) jika pada sisi pada suatu segitiga kongruen dengan tiga sisi pada segitiga yang lain ,maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

 

Gambar 4.4

 

Segitiga Sama Kaki dan Segitiga Sama Sisi

Prinsip segitiga sama kaki dan segitiga sama sisi:

  • Prinsip 1 :

Jika dua sisi suatu segitiga kongruen ,sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi tersebut juga kongruen.(sudut-sudut dasar segitiga sama kaki adalah kongruen)

  • Ø Prinsip 2 :

Jika dua sudut  suatu segitiga kongruen,sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut-sudut tersebut juga kongruen.

  • Prinsip 3 :

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang mempunyai sudut-sudut sama.(prinsip 3 adalah akibat atau korolari prinsip 1.Korolari suatu teorema adalah teorema lain yang pernyataan dan buktinya bias didapatkan dengan mudah dari teorema yang sudah ada.

  • Prinsip 4:

segitiga yang mempunyai susut-sudut sama adalah segitiga sama sisi.

Contoh:

Buktikan bahwa garis bagi sudut dari titik sudut tertinggi pada segitiga sama kaki adalah median yang mennuju ke dasar.

Penyelesaian :

Garis bagi sudut dari titik sudut tertinggi pada segitiga                             B

 sama kaki adalah median yang menuju ke dasar.                                                           

Diketahui: ∆ABC sama kaki (AB ≡ BC )

BD membagi dua sudut                                                                            A       D       C

Untuk membuktikan: BD adalah median yang menuju ke AC

 

 

Rencana : buktikan ∆I ≡ ∆II untuk mendapatkan AD ≡ DC

Bukti:

Pernyataan

Alasan

1. AB   BC

2.BD garis-bagi sudut B

3. sudut 1 kongruen sudut 2

 

4. AB ≡ BD

5. ∆I ≡ ∆II

6. AD ≡ DC

 

7. BD adalah median yang menuju ke AC

1. diketahui

2. diketahui

3. membagi-dua adalah membagi menjadi dua bagian yang kongruen

4. sifat refleksif

5. ss.sd.ss ≡ ss.sd.ss

6. bagian-bagian yang bersesuaian dari ∆≡ adalah ≡

7. garis  dari titik sudut suatu ∆ yang membagi-dua sisi dihadapannya adalah median.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BAB III

PENUTUP

 

3.1       Kesimpulan

Berdasarkan pemaparan pembahasan dalam makalah ini, dapat disimpulkan bahwa kesebangunan menunjukkan adanya bangun-bangun yang sebangun, sedangkan ukurannya berlainan.  Dua bangun yang berisi lurus merupakan bangun yang sebangun jika memenuhi kedua syarat sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Kongruen adalah bentuk-bentuk yang memiliki ukuran dan bentuk yang sama: bentuk-bentuk tersebut merupakan duplikat yang persis satu sama lain.

 

 


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Kategori

%d blogger menyukai ini: